20 Okt

Mathematik lernen

Titelbild Blogbeitrag "Mathematik lernen"

Wie lernt man Mathematik?

Mathematik lernen funktioniert nur, indem man Mathematik betreibt.

Für die Schulmathematik bedeutet das: Es ist nötig, selbstständig Aufgaben zu lösen, und zwar genügend viele.

Das kann jedoch ziemlich frustrierend sein, wenn man z.B. keine einzige Hausaufgabe lösen kann, obwohl man im Unterricht dabei war. Was tun, wenn man einfach das Gefühl hat „ich kann keine Mathematik“?

Was sind mögliche Schwierigkeiten?

Die Aussage „ich kann diese Aufgabe nicht lösen“ kann vieles bedeuten:

  • Ich kenne einige der im Aufgabentext auftretenden Begriffe nicht.
  • Ich weiss nicht, was ich tun soll.
  • Ich bleibe irgendwo stecken, bekomme keine Lösung, oder meine Lösung ist falsch.

Es ist wichtig, sich selbst zu fragen, welcher dieser drei Punkte bei einer bestimmten Aufgabe oder bei einem Thema (z.B. bei der Prüfungsvorbereitung) das Problem ist.

Wenn man Begriffe nicht kennt, so ist es nötig, die Definitionen nachzuschlagen. In der Mathematik werden Begriffe sehr spezifisch verwendet, oft kann man eine Aufgabe erst lösen, wenn man genau weiss, was mit einem bestimmten Begriff gemeint ist. Die Aufgabe fragt indirekt also auch z.B. „weisst Du denn, welche Eigenschaften ein rechtwinkliges Dreieck hat?“

Frage Dich also: „Was sind die Begriffe, die im Moment im Unterricht immer wieder verwendet werden? Kann ich mir unter diesen Begriffen etwas vorstellen, habe ich schon gesehen, wie sie jeweils verwendet werden? Haben wir vielleicht sogar eine genaue Definition schriftlich festgehalten?“

Wenn man nicht weiss, was man bei einer Aufgabe tun soll, so kann das z.B. daran liegen, dass man den Aufgabentext nicht genau liest. Mathematische Aufgaben muss man genügend langsam lesen, manchmal entscheidet ein einzelnes Wort darüber, was eigentlich gemeint ist.

Weit verbreitet ist auch der Irrglaube, eine Mathematikufgabe müsse auf eine ganz bestimmte Weise gelöst werden, und wenn man nicht den Trick oder die passende Methode kennt, kann man die Aufgabe nicht lösen. Sogar die einfachste Gleichung kann auf verschiedene Arten umgeformt werden und zur richtigen Lösung führen, jedoch sind natürlich manche Vorgehensweisen deutlich einfacher als andere. Natürlich lohnt es sich, die nützlichsten Tricks und die einfacheren Methoden sich zu merken, aber es heisst nicht, dass man für jede neue Aufgabe eine neue Methode lernen muss.

Denke nicht so sehr an „Kochrezepte“ die man auswendig lernen muss, sondern lieber an „Werkzeuge“, deren Verwendung man üben sollte, bis man sie schnell und sicher einsetzen kann.

Frage Dich also: „Welche Methoden zum Lösen von Aufgaben bei diesem Thema habe ich im Unterricht kennengelernt? Welche Methoden kommen immer wieder zum Einsatz, welche davon leuchten mir ein, welche habe ich selbst auch schon verwenden können?“

Wenn man eine Aufgabe nicht fertig lösen kann oder das Ergebnis nicht stimmt, ist das eine wichtige Gelegenheit, etwas zu lernen. Wenn man vor einer Prüfung stundenlang Aufgaben löst, aber nichts schafft, ist die Zeit natürlich nicht sehr sinnvoll eingesetzt!

Wenn man einen Lösungsweg für die Aufgabe zur Verfügung hat (z.B. ein Beispiel aus dem Unterricht oder in einem Theoriebuch), oder auch jemanden fragen kann, sollte die Frage lauten:

„Welche Information aus dem Aufgabentext habe ich vergessen bzw. ist mir nicht aufgefallen? Was ist falsch an meiner Vorgehensweise, so dass das Ergebnis falsch ist? An welcher Stelle ist mir ein nötiger Schritt nicht selbst eingefallen und wie genau funktioniert er?“

Es ist sehr wichtig, wenn die Aufgabe fertig gelöst wurde, kurz innezuhalten und nicht einfach die nächste Aufgabe anzufangen, weil sonst der Lerneffekt nicht so gross ist wie er sein könnte. Genau in diesem Moment musst Du Dir nochmal vergegenwertigen, warum genau Du nicht allein die Aufgabe lösen konntest. Also nicht einfach „Jetzt weiss ich ja, wie es geht“, sondern „diesen Begriff habe ich verwechselt oder übersehen in der Aufgabe“, „dieses Vorgehen habe ich falsch angewendet, aber ich weiss jetzt, wann man es anwenden darf und wann nicht“ oder vielleicht „ich vergesse immer, dass man ja auch ausklammern könnte in dieser Situation“.

Vielleicht willst Du Dir solche Stellen auch auf einem separaten, speziellen Blatt notieren, auf welchem Du auch die Fragen notierst, die Du im Unterricht noch stellen willst und wo Du auch gleich die Antworten festhalten kannst.

Am besten, Du versuchst nach so einem Moment die gleiche Aufgabe nochmal zu lösen, ohne die bisherigen Notizen anzusehen: Geht es jetzt ohne Nachschauen zu müssen?

Es gilt generell: Man lernt Mathematikaufgaben zu lösen leider nicht, indem man jemandem beim Lösen zuschaut oder indem man einfach ein vorgelöstes Beispiel durchliest. Erst wenn man es selbst versucht, sieht man, was klar ist und wo man noch stecken bleibt.

Was will ich genau lernen?

Mache Dir kalr, was genau Du lernen willst. Meistens geht es darum, in Prüfungssituationen Aufgaben besser lösen zu können. Es kann aber auch sein, dass man im Unterricht nicht mitkommt und das Gefühl hat, zu wenig von der Theorie hinter den Aufgaben zu verstehen.

Aufgaben besser lösen lernen:

Es ist sehr wichtig, verschiedene Anforderungen bei Mathematikaufgaben unterscheiden zu lernen. Sonst erhält man ein allgemeines Gefühl von „ich kann das nicht“ und weiss überhaupt nicht, wo man anfang soll. Es gibt nämlich mehrere Stufen von Anforderungen, und die können und müssen ganz unterschiedlich geübt werden:

Notation und Umformungsregeln:

Natürlich muss man wissen, wie die mathematischen Symbole definiert sind, und welche Regeln für den Umgang mit Ihnen gelten. Manchmal kann es verwirrend sein, dass gewisse Umformungen für gewisse Operationen „erlaubt“ sind, andere aber „verboten“.

Das „algebraische Handwerk“ wie Ausklammern, Faktorisieren, Brüche addieren etc. Verlangt vor allem Übung. Natürlich gibt es Regeln, wie diese Umformungen funktionieren, und alle diese Regeln kann man verstehen, aber es hilft leider nicht viel, wenn man alle Regeln verstanden hat (vor allem, wenn man gemerkt hat, wo sich reine Definitionen, also Konventionen, verbergen, die man ja gar nicht verstehen, sondern nur zur Kenntnis nehmen kann), denn man muss diese Umformungen genügend schnell und sicher vornehmen können. Da eine Prüfung unter Zeitbeschränkung gelöst werden muss (aber auch die Hausaufgaben sollen ja in nützlicher Frist erledigt werden können), ist es zwingend nötig, hier ein Mindestniveau zu erreichen, weil man sonst in allen schwierigeren Aufgaben an dieser Hürde steckenbleibt. Es nützt leider nur wenig, wenn man eine Textaufgabe zwar richtig in eine Gleichung umformen kann, aber diese dann nicht richtig löst, weil man eine einfache Umformung falsch vornimmt.

Aufstellen von Gleichungen, algebraische Formulierungen von Textaufgaben

Das „Übersetzen“ von sprachlich formulierten Aufgaben in mathematische Gleichungen ist heikel und macht bei solchen Aufgabentypen die Hauptschwierigkeit aus. Auch die dafür benötigten Herangehensweisen können nicht einfach auswendig gelernt werden, sondern müssen an vielen verschiedenen Beispielen immer wieder geübt werden. Wie schon erwähnt ist es dazu nötig, die Aufgabe sorgfältig und langsam zu lesen, und sich zu fragen:

„Was ist gefragt?“, „ist eine (oder mehrere) bestimmte Grösse gesucht?“, „sind Beziehungen     zwischen der gesuchten Grösse und den gegebenen Grössen formuliert?“

Theorie zu diesem Aufgabentyp

Umgang mit Notation und algebraischen Umformungsregeln und das Aufstellen von Gleichungen allein genügen nicht für alle Aufgabentypen. Je nach Gebiet der Mathematik benötigt man „etwas Theorie“. Es kann z.B. nötig sein, gewisse Zusammenhänge, „mathematische Gesetze“ genannt, zu kennen (Stichworte wie Satz des Pythagoras, Lösungsformel der quadratischen Gleichung, Vektorprodukt, Integral etc.) Lässt sich die Aufgabe einem bestimmten Thema zuordnen? Sind es z.B. Übungsaufgaben zu einer Prüfung zu einem bestimmten Thema? Dann ist natürlich die Frage:

„Welche Gesetze zu diesen Grössen haben wir im Unterricht behandelt?“

Aber Vorsicht: Nicht jede Aufgabe, die von einer Figur handelt, ist mit geometrischen Mitteln leicht zu lösen, und nicht jede reine Textaufgabe muss mit einer Gleichung gelöst werden. Frage Dich, sobald Du das Gefühl hast, einen brauchbaren Lösungsweg für die Aufgabe gefunden zu haben: „Könnte man die Aufgabe auch noch anders, vielleicht sogar einfacher, lösen?“

Wann lerne ich?

Muss ich die Theorie verstanden haben, um eine Prüfung schreiben zu können? Leider ist das Verstehen keine Garantie dafür, eine Aufgabe lösen zu können, aber auch keine Voraussetzung. Man kann lernen, eine Aufgabe von einem bestimmten Typ zu lösen, ohne zu verstehen, warum das Vorgehen funktioniert, und man kann eine Aufgabe nicht lösen, auch wenn man die ganze dahinterstehende Theorie versteht, wenn man die Kniffe für diese Aufgabentyp nicht beherrscht.

Darum ist es wichtig, immer wieder abzuwechseln. Wenn man neue Begriffe definiert, können einfache Fragen zu diesen Begriffen helfen, sie richtig anzuwenden und zu überprüfen, ob man sie versteht. Beim lösen von Aufgaben zu einem bestimmten Thema entdeckt man vielleicht, dass man die Theorie hinter dem Thema noch nicht genau verstanden hat.

 

Wie geht man denn nun am besten vor? Womit kann man beginnen?

  • Kurz vor der Prüfung: Wenn jetzt noch nicht die ganze Theorie verstanden ist, konzentriert man sich trotzdem auf die Aufgaben. Wie gesagt, kann man auch Aufgaben lösen, wenn man nicht alles verstanden hat. Das ist zwar nicht ideal und auch nicht wünschenswert, aber es nützt auch nichts, wenn man zu wenig geübt hat für die Prüfung, weil man noch in der Theorie hängengeblieben ist.
  • Genügend Zeit: Wie eben beschrieben, wechsle man munter ab. Zu viel Theorie am Stück ermüdet, zu viele Aufgaben zu Begriffen, die einem nichts sagen, frustieren ebenfalls.
  • Im Unterricht: Es ist unglaublich, wieviel mehr man vom Besuch des Unterrichts profitiert, wenn man nicht einfach zuhört, wie Fragen beantwortet werden, die man sich selbst nicht gestellt hat. Darum: Stelle Dir vor jeder Lektion Fragen wie:

„Wie heisst das aktuelle Thema, welche Begriffe kommen im Moment häufig vor?“, „Was habe ich mir letzte Stunde notiert?“, „Was waren Aufgaben auf heute und welche Probleme hatte ich?“, „Welche konkrete Frage zum Thema würde ich heute gerne beantwortet bekommen?“

Das fokussiert Deine Aufmerksamkeit, Du kannst dem Unterricht viel besser folgen und wenn es um Begriffe geht, die Dir noch Schwierigkeiten bereiten, kannst Du vielleicht sogar selbst eine Frage stellen.

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